Hinh giải tích

[nhoxsockpk003]

--------------------------------------------------------------------------------

mình có 1 bài toán nhờ các bạn giúp
cho 2 điểm A , B cho trước tọa độ và 1 đường thẳng (d) cho trước ,biết 2 điểm A B nằm về 2 phía đối với dt (d) , các bạn tìm giúp mình điểm C thuộc (d) để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. cảm ơn các bạn ( các bạn chỉ cần nói hướng giải)

có chuyên gia toán học nào ko giúp mình với mình thì botay.com rồi 0 giải nổi

[docgia]

Hướng dẫn
Bài này giải bằng hình học nhanh hơn là hình giải tích. Em giải bằng hình học rồi viết phương trình đường thẳng và xác định toạ độ của C nếu cần


http://img6.imageshack.us/img6/660/hinhhoc01.jpg

Nếu bài toán của em là A và B nằm về 2 phía của d thì lời giải rất đơn giản. Gọi O là giao điểm của AB và d, AB = a. Thế thì theo bất đẳng thức tam giác:
AC + BC ≥ AB = a
Đẳng thức thỉ xảy ra khi C ≡ O, tức là tam giác ABC suy biến thành đoạn thẳng. Bài toán chỉ thật sự có ý nghĩa nếu AB nằm về 1 phía của mặt phẳng chia bởi d.

Cách tiếp cận đại số:


http://img4.imageshack.us/img4/2865/hinhhoc02.jpg

Cho C chạy trên d, OC = c thay đổi, AB = a và OB = b cố định, góc (AB,d) = α không đổi. Đặt AC = x, BC = y ta có

x^2 = (a+b)^2 + c^2 - 2*(a+b)*c*cos(α)
y^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(α)

Tính cực tiểu của hàm f(c) = x(c) + y(c) với x(c) và y(c) xác định như trên.
Nhận xét: cách này khó nếu kiến thức chỉ giới hạn ở bậc phổ thông.

Cách tiếp cận hình học:


http://img14.imageshack.us/img14/5324/hinhhoc03.jpg

Lấy điểm B' đối xứng với B qua d. AB' cắt d tại O, dễ thấy chiều dài đoạn AB' = a không đổi. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
AC + BC = AC + B'C ≥ AB' = a
Đẳng thức thỉ xảy ra khi C ≡ O, tức là tam giác AB'C suy biến thành đoạn thẳng.

Bài toán có thể mở rộng ra một chút: cho đoạn thẳng AB không song song với mặt phẳng (α) và cùng nằm ở một nửa không gian ba chiều chia bởi (α) . Xác định điểm C thuộc (α) sao cho chu vi của tam giác ABC là nhỏ nhất .