thuananh0310
05-01-2007, 12:06 AM
Mình có một chuyên đề bất đẳng thức hay.Ban nào có nhu cầu thì cứ xem nha.Đặc biệt là các em hoc sinh chuẩn bị thi đại hoc.
Cho các số không âm a,b thỏa a+b <=1 (nhỏ hơn hoặc bằng ).Chứng minh rằng :
M= a+b+1/a +1/b >= 5.
+)Nhận xét :Nhìn chung bài này thuộc dạng khó nhưng rất hay ở chỗ ta đã biết :Nếu áp dụng Bất đẳng thức Cauchy(cô si) thì ta có ngay :
a+1/a >= 2 ,có dấu bằng khi và chỉ khi a=1
tương tự :
b+1/b >=2 ,có dấu bằng khi và chỉ khi b=1
Vậy chắc chắn là M>= 4 ,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1.
+)Nhưng các bạn chú ý là yêu cầu bài toán bắt chúng ta chứng minh cho M>=5 và ta để ý là a+b<=1.Vậy ta sẽ tạo mối liên hệ giữa M và a+b để có dấu >= nhỉ ,rõ ràng -(a+b)>=1 roài đúng không nào.Hơn nữa dấu bằng xảy ra không hẳn đúng cho a=b=1.Vậy ta phải làm thế nào?
+)Hãy suy nghĩ cho kỹ và hãy đặt nhưng câu hỏi xung quanh bài toán....
+)Bắt đầu phân tích nha :
-Điều kiện bài toán cho a,b không âm tức là gợi cho ta đến với Bất đẳng thức nào (Rõ ràng là Cô si rồi phải không nào ).
-Hãy để ý đến trường hợp dấu bằng xảy ra nếu ta sử dụng Bất đẳng thức Cô-si:
khi đó ta sẽ có a+b=1 ,và M=a+b+1/a +1/b =5 .Như vậy ta có ngay a=b=1/2.
+)Với cách phân tích trên ta sẽ ứng dụng BDT Cô-si với trường hợp dấu bằng là a=1/2 và b=1/2.Ta sẽ tách và nhóm các hạng tử trong M.Ta đi vào giải các bạn tre yêu toán nhé :
+)Giải quyết vấn đề :
Ta có M= a+b+1/a+1/b =-3(a+b) +(4a +1/a) +(4b+1/b).
tại sao lại phân tích như vậy?Bởi vì ta thấy ngay nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta sẽ có :
4a+1/a >=4 (=2.sqrt(4a.1/a ) )dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=1/2 đúng như phân tích ở trên ,tương tự cho b :ta có 4b +1/b >= 4 .Hơn nữa cũng có -3(a+b) >= -3 ,dấu bằng khi a=b=1/2.
Vậy M=-3(a+b) +(4a+1/a )+(4b+1/b) >= -3+4+4 =5.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1/2.
+)Kết luận:Vậy là tôi đã dẫn các bạn trên con đường đến cái đích của một bài toán không dễ.Tui sẽ dừng tại đây còn các bạn không nên dừng và hãy nghiên cứu tiếp tục bài toán thông qua những bài tập gợi ý của tôi :
+)Bài tập :
Bài 1: Cho các số không âm a,b thỏa a+b <= 1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M với
M=5a+5b+2/a+2/b.
Bài 2 :Cũng với giả thiết trên, hãy chứng minh rằng N>=14 với :N =2a+2/a+6b +3/b
+)Cung chúc :Chúc các bạn thành công!.Nếu bạn là người yêu toán ,có gì khó khăn hãy liên lạc với tôi qua Mail :[email protected]
Hoặc ditimmotnuavangtrang0310. Tôi sẵn sàng ủng hộ với tất cả khả năng có thể ...Hì hì nhiệt tình thế còn gì.Chúc các bạn năm tới đỗ đại học hết.... nhé !
Cho các số không âm a,b thỏa a+b <=1 (nhỏ hơn hoặc bằng ).Chứng minh rằng :
M= a+b+1/a +1/b >= 5.
+)Nhận xét :Nhìn chung bài này thuộc dạng khó nhưng rất hay ở chỗ ta đã biết :Nếu áp dụng Bất đẳng thức Cauchy(cô si) thì ta có ngay :
a+1/a >= 2 ,có dấu bằng khi và chỉ khi a=1
tương tự :
b+1/b >=2 ,có dấu bằng khi và chỉ khi b=1
Vậy chắc chắn là M>= 4 ,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1.
+)Nhưng các bạn chú ý là yêu cầu bài toán bắt chúng ta chứng minh cho M>=5 và ta để ý là a+b<=1.Vậy ta sẽ tạo mối liên hệ giữa M và a+b để có dấu >= nhỉ ,rõ ràng -(a+b)>=1 roài đúng không nào.Hơn nữa dấu bằng xảy ra không hẳn đúng cho a=b=1.Vậy ta phải làm thế nào?
+)Hãy suy nghĩ cho kỹ và hãy đặt nhưng câu hỏi xung quanh bài toán....
+)Bắt đầu phân tích nha :
-Điều kiện bài toán cho a,b không âm tức là gợi cho ta đến với Bất đẳng thức nào (Rõ ràng là Cô si rồi phải không nào ).
-Hãy để ý đến trường hợp dấu bằng xảy ra nếu ta sử dụng Bất đẳng thức Cô-si:
khi đó ta sẽ có a+b=1 ,và M=a+b+1/a +1/b =5 .Như vậy ta có ngay a=b=1/2.
+)Với cách phân tích trên ta sẽ ứng dụng BDT Cô-si với trường hợp dấu bằng là a=1/2 và b=1/2.Ta sẽ tách và nhóm các hạng tử trong M.Ta đi vào giải các bạn tre yêu toán nhé :
+)Giải quyết vấn đề :
Ta có M= a+b+1/a+1/b =-3(a+b) +(4a +1/a) +(4b+1/b).
tại sao lại phân tích như vậy?Bởi vì ta thấy ngay nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta sẽ có :
4a+1/a >=4 (=2.sqrt(4a.1/a ) )dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=1/2 đúng như phân tích ở trên ,tương tự cho b :ta có 4b +1/b >= 4 .Hơn nữa cũng có -3(a+b) >= -3 ,dấu bằng khi a=b=1/2.
Vậy M=-3(a+b) +(4a+1/a )+(4b+1/b) >= -3+4+4 =5.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1/2.
+)Kết luận:Vậy là tôi đã dẫn các bạn trên con đường đến cái đích của một bài toán không dễ.Tui sẽ dừng tại đây còn các bạn không nên dừng và hãy nghiên cứu tiếp tục bài toán thông qua những bài tập gợi ý của tôi :
+)Bài tập :
Bài 1: Cho các số không âm a,b thỏa a+b <= 1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M với
M=5a+5b+2/a+2/b.
Bài 2 :Cũng với giả thiết trên, hãy chứng minh rằng N>=14 với :N =2a+2/a+6b +3/b
+)Cung chúc :Chúc các bạn thành công!.Nếu bạn là người yêu toán ,có gì khó khăn hãy liên lạc với tôi qua Mail :[email protected]
Hoặc ditimmotnuavangtrang0310. Tôi sẵn sàng ủng hộ với tất cả khả năng có thể ...Hì hì nhiệt tình thế còn gì.Chúc các bạn năm tới đỗ đại học hết.... nhé !