Sợi dây và hình học

[unknowlover]

Trong tay bạn có 1 sợi dây có chiều dài l, hãy xếp thành hình có diện tích lớn nhất. Cho biết hình đó là hình gì và chứng minh diện tích của nó là lớn nhất. Hy vọng các bạn quan tâm suy nghĩ.

[h2t_mt]

Một bài Toán rất thú vị , nếu không có sách giải thì cần nhiều thời gian để suy nghĩ :D

[choc-ice]

Ban đầu em nghĩ đó là hình vuông nhưng ko phải , Sv = l^2/16
Tiếp đến em nghĩ đó là hình lục giác đều , tính toán ra thì hình này ko lớn hơn hình tròn . Hình có n giác đều thì S > hình có n giác ? Em nghĩ như vậy bởi vì nếu có l m dây thì hình vuông có S > hình chữ nhật . S ht = l^2/4pi , còn S hình lục giác đều là l^2/8 căn3 . Theo em thì S hình tròn sẽ là max , vả lại so sánh như vậy quá thiếu tính thuyết phục ......... ko biết cách nào CM đây ?

[unknowlover]

Trước tiên, điều mình muốn nói là câu này mình nghĩ ra, mình cũng ko biết là nó có được ai nghĩ ra trước ko nên ko có sách giải, cách giải chỉ là suy luận logic.
Và bạn choc-ice đã trả lời và giải thích đúng.
Đầu tiên bạn phải chứng minh hình đa giác đều sẽ có diện tích lớn nhất so với các loại đa giác khác có cùng số cạnh.
Tiếp theo, bạn sẽ thấy rằng, hình đa giác đều có số cạnh nhiều hơn sẽ có diện tích lớn hơn, đương nhiên với cùng chu vi là l. Từ đó mình sẽ thấy hình có số cạnh tiến đến vô cùng sẽ có diện tích lớn nhất => hình tròn.
Đây là bài toán nói lên mối quan hệ giữa chu vi và diện tích, nếu các bạn thấy chưa thuyết phục về cách giải thích thì các bạn có thể tự chứng minh, ví dụ như tam giác đều có diện tích lớn nhất...

[h2t_mt]

To unknow : thật ra cách suy nghĩ chỉ là " định tính " , khả năng hình dung và tưởng tượng , nó sẽ là định hướng con đường để ta giải 1 bài toán , nhưng việc giải 1 bài toán nếu chỉ dùng " định tính " thì vẫn chưa giải quyết được bài toán.

Bài này muốn c/m được ta buộc fải c/m nó 1 cách tổng quát hơn nữa. Đó cũng là lý do vì sao h2t nói bài toán này khó . Nếu chỉ xét trên các hình đã biết như : đa giác , hình tròn thì vẫn chưa có gì để khẳng định rằng sẽ không tồn tại một hình nào đó để chu vi không đổi mà diện tích lớn nhất cả.

Để giải bài toán này , ta fải xét trên tập hợp các hình mà ta đã biết vì thế buộc fải đưa ra được những tính chất tổng quát và c/m nó. Đây không fải là vẫn đề đơn giản , có khi nó lại tạo ra một môn học mới. Và đó cũng chính là sự xuất hiện các môn học ở PT hay ĐH. Chẳn hạn : để c/m PT bậc 4 tổng quát không giải được = căn thức nó sinh ra môn học : Đại Số Galois , Galois là người định ra con đường tổng quát hoá để giải bài toán đó.

[unknowlover]

Ý kiến của bạn cũng có lý đấy, nếu bạn muốn thì mình sẽ chứng minh từ từ và mình nghĩ, hình học phẳng thì cũng khá đơn giản thôi, ko phức tạp lắm như bạn nghĩ.
I/Đầu tiên, mình chứng minh hình tam giác đều là có diện tích lớn nhất.
1/ Căn sợi dây thành hình tam giác đều =>S=(l^2)*sqrt3/36 gần bằng 0.048112522*l^2
2/ Với tam giác đều ABC, giữ 2 đầu AB, cho C di động => quỹ đạo di chuyển của C là 1 hình elip, nhưng cái đó ko quan trọng. Khi cho C di chuyển, ta thấy tấc cả các vị trí khác của C có khoảng cách đối với AB là nhỏ hơn vị trí đầu tiên => S các hình đó sẽ nhỏ hơn S của tam giác đều. Trong số các vị trí đó có 2 vị trí của tam giác vuông tại A hay tại B ( với trường hợp này, bạn có đồng ý là mọi hình tam giác vuông đều nhỏ hơn tam giác đều ko nhỉ, mặc dù nó chỉ là 2 đại diện).
3/Mình sẽ chứng minh thêm 1 đại diện nữa là tam giác vuông cân, rất dễ dàng, bạn có thể tìm được chiều dài 2 cạnh góc vuông là l*(2-sqrt2 )/2 => S=(l^2)*(3-2*sqrt2)/4 gb 0.042893218
4/Nếu bạn tăng chiều dài cạnh AB thì phải giảm chiều dài 2 cạnh BC và CA (như vậy ko biết bạn có đồng ý là S của nó sẽ nhỏ hơn ko, nói thiệt chỗ này mình cũng ko biết phải chứng minh sao nữa).
Còn chứng minh các hình lớn hơn thì khó hơn nhiều, với các hình có cạnh lớn hơn, mình đề nghị là không phải chứng minh hình đa giác lồi có S lớn hơn hình đa giác ko lồi (cái này bắt mình chứng minh thì mình chịu). Từ đó, mình vẽ 1 hình tròn ngoại tiếp các đa giác đều, sau đó di chuyến 1 điểm trong đa giác đều, tương tự như trên, rồi chứng minh diện tích của nó nhỏ hơn (cái này mình cũng ko biết chứng minh cụ thể nốt).
Nếu các bạn có hứng thú thì các bạn cứ chứng minh, nếu có kết quả thì báo cho mình biết nha.

[h2t_mt]

He he... ngay trong hình fẳng bài toán nì đã ko đơn giản , huống hồ , để bài bạn ko hề nói là trong hình phẳng :D
Nếu ta phát triển tiếp tục thì còn tính đến diện tích của những hình tạo thành trong không gian nữa. Bạn hãy thử tưởng tượng 1 miếng ko fải hình fẳng có độ dài đường giới hạn là l , câu hỏi đặt ra là : hình dáng của miếng đó thế nào thì diện tích là lớn nhất?

Thôi , nếu phát triển tiếp nữa thì chắc chiút quá :D

[unknowlover]

Ý tưởng của bạn hay đó, có lẽ mình ra đề chưa chặc chẽ lắm nên bị bạn bắt bí.
Nếu bạn có ý tưởng thì hãy chứng minh đáp số cùa mình là sai đi, lúc đó mình sẽ tâm phục, khẩu phục.
Thôi chuyện đó để chuyên gia giải quyết đi, bài toán mình giới hạn là trong hình học phẳng thôi.
Có ai biết trang web nào của Việt Nam nghiên cứu toán ko vậy, cho mình biết để vào hỏi câu này coi, mình bí nhiều chỗ quá.

[h2t_mt]

bạn vào Diễn đàn Toán học của Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ ấy , bạn tự dùng google để tìm , chứ h2t cũng ít khi nhớ url lắm :D

[unknowlover]

Cám ơn heng, mà sao ko suy nghĩ nữa vậy, biết đâu bạn sẽ là người đặt nền móng cho 1 môn toán mới thì sao?

[h2t_mt]

Không dám....!
Như đã nói ở trên , điều kiện không cho fép h2t đầu tư thời gian suy nghĩ được. Trước hết fải kiếm sống và lo cho gia đình nữa.
Hi vọng thế hệ trẻ , có nhiều điều kiện sẽ cố gắng làm được.

[unknowlover]

Ừ, ko giải cũng ko sao. Chẳng có gì quan trọng, quan trọng là có tiền trong túi quan.

[h2t_mt]

Tiền không fải là thứ quan trọng mà nó là thứ cần thiết..............

[kaivn]

tiền ko quan trọng
quan trọng là có bao nhiu tiền:D
hiì
đùa thui, cho h2t 9 điểm vì câu nói :lol: