Chứng minh bất đẳng thức

[nhung_ngay_xua_than_ai]

1. chứng minh: x^3/y + y^3/z + z^3/x +x^3/z+ y^3/x +z^3/y >= (x^2+y^2+z^2+1)/2
biết rằng: x+y+z=1 và x,y,z >0

2. tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Z = x+y -/x-y/ biết x^2 -xy + y^2 =4

3. chứng minh rằng : cos( pi/7) - cos(2pi/7) + cos(3pi/7) =1/2

[pukeo]

1......theo bdt cosi có:
x^3/2y + y^3/2x >= xy
........ >=yz
........ >=xz
Lại có:x^3/2y + xy/2 >=x^2
............ >=y^2
........... >=z^2
x^3/2z + xz/2 >=x^2
............ >=y^2
............. >= z^2
-------Cộng các vế lại có : x^3/y + .......+ z^3/y +(xy + yz + xz) >= {(x^2 +y^2 + z^2 ) + (x+y+z)^2 }/2 + (x^2 +y^2+z^2) >= (x^2 + y^2 + z^2 + 1 )/2 +xy + yz + xz
=========>x^3/y +.......+z^3/x >=(x^2+y^2+z^2 +1)/2
____________đpcm_______

3.Nhân cả hai vế với 2sin(pi/7) ...........Ok!!!!
2. Pu. chưa ra ................đoán max =4 .....min = -4 ..........ko bít đúng hem ????????

[kalp]

Phương pháp đúng mà chứng minh khó hiểu quá .
Gọi vế trái biểu thức là A
như Pukeo cm
x^3/z+xz>=2x^2
...
tương tự ta có: A+2(xy+yz+xz)>=4(x^2+y^2+z^2)
Vậy ta cần cm: 4(x^2+y^2+z^2)>=(x^2+y^2+z^2+1)/2+2(xy+yz+xz)
nhân hai vế cho 2 và dùng bổ đề x^2+y^2+z^2>=xy+yz+xz ta được
3(x^2+y^2+z^2)>=1 (đúng vì 3(x^2+y^2+z^2)>=(x+y+z)^2=1)
suy ra điều phải chứng minh
********************
Còn câu 3 là đề thi toán Quốc tế đem vô đây chi vậy trời.

Câu 2:
***x^2-2xy+y^2=4-xy .(xy<=4)
***x^2+2xy+y^2=4+3xy .(xy>=-4/3)
Đặt t= xy . (-4/3<=t<=4)
A=Sqrt(4+3t)-/Sqrt(4-t)/
f(t) đơn điệu
t=-4/3, f(t)=-16/3
t=4, f(t)=4