player
08-01-2007, 06:17 AM
Tác giả : thuananh0310
Mình có một chuyên đề bất đẳng thức hay.Ban nào có nhu cầu thì cứ xem nha.Đặc biệt là các em hoc sinh chuẩn bị thi đại hoc.
Cho các số không âm a,b thỏa a+b <=1 (nhỏ hơn hoặc bằng ).Chứng minh rằng :
M= a+b+1/a +1/b >= 5.
+)Nhận xét :Nhìn chung bài này thuộc dạng khó nhưng rất hay ở chỗ ta đã biết :Nếu áp dụng Bất đẳng thức Cauchy(cô si) thì ta có ngay :
a+1/a >= 2 ,có dấu bằng khi và chỉ khi a=1
tương tự :
b+1/b >=2 ,có dấu bằng khi và chỉ khi b=1
Vậy chắc chắn là M>= 4 ,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1.
+)Nhưng các bạn chú ý là yêu cầu bài toán bắt chúng ta chứng minh cho M>=5 và ta để ý là a+b<=1.Vậy ta sẽ tạo mối liên hệ giữa M và a+b để có dấu >= nhỉ ,rõ ràng -(a+b)>=1 roài đúng không nào.Hơn nữa dấu bằng xảy ra không hẳn đúng cho a=b=1.Vậy ta phải làm thế nào?
+)Hãy suy nghĩ cho kỹ và hãy đặt nhưng câu hỏi xung quanh bài toán....
+)Bắt đầu phân tích nha :
-Điều kiện bài toán cho a,b không âm tức là gợi cho ta đến với Bất đẳng thức nào (Rõ ràng là Cô si rồi phải không nào ).
-Hãy để ý đến trường hợp dấu bằng xảy ra nếu ta sử dụng Bất đẳng thức Cô-si:
khi đó ta sẽ có a+b=1 ,và M=a+b+1/a +1/b =5 .Như vậy ta có ngay a=b=1/2.
+)Với cách phân tích trên ta sẽ ứng dụng BDT Cô-si với trường hợp dấu bằng là a=1/2 và b=1/2.Ta sẽ tách và nhóm các hạng tử trong M.Ta đi vào giải các bạn tre yêu toán nhé :
+)Giải quyết vấn đề :
Ta có M= a+b+1/a+1/b =-3(a+b) +(4a +1/a) +(4b+1/b).
tại sao lại phân tích như vậy?Bởi vì ta thấy ngay nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta sẽ có :
4a+1/a >=4 (=2.sqrt(4a.1/a ) )dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=1/2 đúng như phân tích ở trên ,tương tự cho b :ta có 4b +1/b >= 4 .Hơn nữa cũng có -3(a+b) >= -3 ,dấu bằng khi a=b=1/2.
Vậy M=-3(a+b) +(4a+1/a )+(4b+1/b) >= -3+4+4 =5.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1/2.
+)Kết luận:Vậy là tôi đã dẫn các bạn trên con đường đến cái đích của một bài toán không dễ.Tui sẽ dừng tại đây còn các bạn không nên dừng và hãy nghiên cứu tiếp tục bài toán thông qua những bài tập gợi ý của tôi :
+)Bài tập :
Bài 1: Cho các số không âm a,b thỏa a+b <= 1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M với
M=5a+5b+2/a+2/b.
Bài 2 :Cũng với giả thiết trên, hãy chứng minh rằng N>=14 với :N =2a+2/a+6b +3/b
+)Cung chúc :Chúc các bạn thành công!.Nếu bạn là người yêu toán ,có gì khó khăn hãy liên lạc với tôi qua Mail :[email protected]
Hoặc ditimmotnuavangtrang0310. Tôi sẵn sàng ủng hộ với tất cả khả năng có thể ...Hì hì nhiệt tình thế còn gì.Chúc các bạn năm tới đỗ đại học hết.... nhé !
Mình viết bài này chỉ sử dụng Word cho các bạn dễ trả lời,mong rằng các bạn sẽ ủng hộ để vấn đề Bất đẳng thức ngày càng hay và đẹp hơn !Để tiếp tục bài topic xin đưa tiếp một số vấn đề gợi mở và phát triển bài toán trên.Mong các bạn đón nhận !
+)Phát triển vấn đề:
Ở bài trước chúng ta đã có bài toán cơ bản :
Bài toán :Cho hai số không âm a,b với a+b<=1.Chứng minh rằng
M=a+b+1/a+1/b >=5.
Lời giải như sau:
Ta có M= a+b+1/a+1/b =-3(a+b) +(4a +1/a) +(4b+1/b).
tại sao lại phân tích như vậy?Bởi vì ta thấy ngay nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta sẽ có :
4a+1/a >=4 (=2.sqrt(4a.1/a ) )dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=1/2 đúng như phân tích ở trên ,tương tự cho b :ta có 4b +1/b >= 4 .Hơn nữa cũng có -3(a+b) >= -3 ,dấu bằng khi a=b=1/2.
Vậy M=-3(a+b) +(4a+1/a )+(4b+1/b) >= -3+4+4 =5.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1/2.
-Chúng ta để ý rằng M=a+b+1/a+1/b =-3(a+b)+(4a+1/a)+(4b+1/b)
ta biết là :
-3(a+b)>=-3(do giả thiết a+b<=1) (1)
Và 4a+1/a >=4 ,4b+1/b>=4 (do áp dụng bất đẳng thức Cô-si). (2)
nên M>=-3+4+4=5
Bây giờ ta xét biểu thức sau :
M=x[-3(a+b)]+y[4a+1/a]+z[4b+1/b] (3)
Ta thấy rằng với lý luận ở (1)và (2) ta có ngay :M>=-3x+4y+4z. (4)
-Khi đó trở lại các bài toán 1 và bài toán 2 ,trước hết là bài toán 1:
Bài 1: Cho các số không âm a,b thỏa a+b <= 1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M với
M=5a+5b+2/a+2/b.ta có hướng khai thác như sau:
+)Chỉ cấn đồng nhất biểu thức M của bài toán 1 với M ở (3) và đồng nhất (4) với yêu cầu bài toán ta có :
M=5a+5b+2/a+2/b=x[-3(a+b)]+y[4a+1/a]+z[4b+1/b]
=(-3x+4y)a+(-3x+4z)b+y.1/a+z.1/b ta sẽ có m>=-3x+4y+4z.
+)khi đó đồng nhất các hệ số của a,b,của 1/a và 1/b ta có :
-3x+4y=5
-3x+4z=5
và y=z=2
Vậy x=1,từ đó ta có kết quả của bài toán là :M>=-3.1+4.2+4.2 =13 ,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1/2 (như đã phân tích ở lời giải trên).Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 13 ,đạt được khi a=b=1/2.
Vậy bài toán đã giải xong ,tương tự ta có lời giải cho bài toán 2.Hy vọng các bạn có thể tự làm ngon lạnh
+)Phát triển tiếp :Chúng ta đưa ra thêm một hướng phát triển mới nữa là :
Ở dữ liệu của bài toán cho a+b<=1 ,vậy bây giờ ta thử cho a+b <= một số @ nào đó ,thì bài toán sẽ đi đến đâu ,mong các bạn cùng nhau thảo luận để thấy hết cái hay của bài toán.Lần online sau sẽ cùng thảo luận với các ban.Chúc các bạn và các em chuẩn bị thi Đại học thành công !
Mình có một chuyên đề bất đẳng thức hay.Ban nào có nhu cầu thì cứ xem nha.Đặc biệt là các em hoc sinh chuẩn bị thi đại hoc.
Cho các số không âm a,b thỏa a+b <=1 (nhỏ hơn hoặc bằng ).Chứng minh rằng :
M= a+b+1/a +1/b >= 5.
+)Nhận xét :Nhìn chung bài này thuộc dạng khó nhưng rất hay ở chỗ ta đã biết :Nếu áp dụng Bất đẳng thức Cauchy(cô si) thì ta có ngay :
a+1/a >= 2 ,có dấu bằng khi và chỉ khi a=1
tương tự :
b+1/b >=2 ,có dấu bằng khi và chỉ khi b=1
Vậy chắc chắn là M>= 4 ,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1.
+)Nhưng các bạn chú ý là yêu cầu bài toán bắt chúng ta chứng minh cho M>=5 và ta để ý là a+b<=1.Vậy ta sẽ tạo mối liên hệ giữa M và a+b để có dấu >= nhỉ ,rõ ràng -(a+b)>=1 roài đúng không nào.Hơn nữa dấu bằng xảy ra không hẳn đúng cho a=b=1.Vậy ta phải làm thế nào?
+)Hãy suy nghĩ cho kỹ và hãy đặt nhưng câu hỏi xung quanh bài toán....
+)Bắt đầu phân tích nha :
-Điều kiện bài toán cho a,b không âm tức là gợi cho ta đến với Bất đẳng thức nào (Rõ ràng là Cô si rồi phải không nào ).
-Hãy để ý đến trường hợp dấu bằng xảy ra nếu ta sử dụng Bất đẳng thức Cô-si:
khi đó ta sẽ có a+b=1 ,và M=a+b+1/a +1/b =5 .Như vậy ta có ngay a=b=1/2.
+)Với cách phân tích trên ta sẽ ứng dụng BDT Cô-si với trường hợp dấu bằng là a=1/2 và b=1/2.Ta sẽ tách và nhóm các hạng tử trong M.Ta đi vào giải các bạn tre yêu toán nhé :
+)Giải quyết vấn đề :
Ta có M= a+b+1/a+1/b =-3(a+b) +(4a +1/a) +(4b+1/b).
tại sao lại phân tích như vậy?Bởi vì ta thấy ngay nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta sẽ có :
4a+1/a >=4 (=2.sqrt(4a.1/a ) )dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=1/2 đúng như phân tích ở trên ,tương tự cho b :ta có 4b +1/b >= 4 .Hơn nữa cũng có -3(a+b) >= -3 ,dấu bằng khi a=b=1/2.
Vậy M=-3(a+b) +(4a+1/a )+(4b+1/b) >= -3+4+4 =5.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1/2.
+)Kết luận:Vậy là tôi đã dẫn các bạn trên con đường đến cái đích của một bài toán không dễ.Tui sẽ dừng tại đây còn các bạn không nên dừng và hãy nghiên cứu tiếp tục bài toán thông qua những bài tập gợi ý của tôi :
+)Bài tập :
Bài 1: Cho các số không âm a,b thỏa a+b <= 1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M với
M=5a+5b+2/a+2/b.
Bài 2 :Cũng với giả thiết trên, hãy chứng minh rằng N>=14 với :N =2a+2/a+6b +3/b
+)Cung chúc :Chúc các bạn thành công!.Nếu bạn là người yêu toán ,có gì khó khăn hãy liên lạc với tôi qua Mail :[email protected]
Hoặc ditimmotnuavangtrang0310. Tôi sẵn sàng ủng hộ với tất cả khả năng có thể ...Hì hì nhiệt tình thế còn gì.Chúc các bạn năm tới đỗ đại học hết.... nhé !
Mình viết bài này chỉ sử dụng Word cho các bạn dễ trả lời,mong rằng các bạn sẽ ủng hộ để vấn đề Bất đẳng thức ngày càng hay và đẹp hơn !Để tiếp tục bài topic xin đưa tiếp một số vấn đề gợi mở và phát triển bài toán trên.Mong các bạn đón nhận !
+)Phát triển vấn đề:
Ở bài trước chúng ta đã có bài toán cơ bản :
Bài toán :Cho hai số không âm a,b với a+b<=1.Chứng minh rằng
M=a+b+1/a+1/b >=5.
Lời giải như sau:
Ta có M= a+b+1/a+1/b =-3(a+b) +(4a +1/a) +(4b+1/b).
tại sao lại phân tích như vậy?Bởi vì ta thấy ngay nếu áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta sẽ có :
4a+1/a >=4 (=2.sqrt(4a.1/a ) )dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=1/2 đúng như phân tích ở trên ,tương tự cho b :ta có 4b +1/b >= 4 .Hơn nữa cũng có -3(a+b) >= -3 ,dấu bằng khi a=b=1/2.
Vậy M=-3(a+b) +(4a+1/a )+(4b+1/b) >= -3+4+4 =5.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1/2.
-Chúng ta để ý rằng M=a+b+1/a+1/b =-3(a+b)+(4a+1/a)+(4b+1/b)
ta biết là :
-3(a+b)>=-3(do giả thiết a+b<=1) (1)
Và 4a+1/a >=4 ,4b+1/b>=4 (do áp dụng bất đẳng thức Cô-si). (2)
nên M>=-3+4+4=5
Bây giờ ta xét biểu thức sau :
M=x[-3(a+b)]+y[4a+1/a]+z[4b+1/b] (3)
Ta thấy rằng với lý luận ở (1)và (2) ta có ngay :M>=-3x+4y+4z. (4)
-Khi đó trở lại các bài toán 1 và bài toán 2 ,trước hết là bài toán 1:
Bài 1: Cho các số không âm a,b thỏa a+b <= 1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M với
M=5a+5b+2/a+2/b.ta có hướng khai thác như sau:
+)Chỉ cấn đồng nhất biểu thức M của bài toán 1 với M ở (3) và đồng nhất (4) với yêu cầu bài toán ta có :
M=5a+5b+2/a+2/b=x[-3(a+b)]+y[4a+1/a]+z[4b+1/b]
=(-3x+4y)a+(-3x+4z)b+y.1/a+z.1/b ta sẽ có m>=-3x+4y+4z.
+)khi đó đồng nhất các hệ số của a,b,của 1/a và 1/b ta có :
-3x+4y=5
-3x+4z=5
và y=z=2
Vậy x=1,từ đó ta có kết quả của bài toán là :M>=-3.1+4.2+4.2 =13 ,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1/2 (như đã phân tích ở lời giải trên).Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 13 ,đạt được khi a=b=1/2.
Vậy bài toán đã giải xong ,tương tự ta có lời giải cho bài toán 2.Hy vọng các bạn có thể tự làm ngon lạnh
+)Phát triển tiếp :Chúng ta đưa ra thêm một hướng phát triển mới nữa là :
Ở dữ liệu của bài toán cho a+b<=1 ,vậy bây giờ ta thử cho a+b <= một số @ nào đó ,thì bài toán sẽ đi đến đâu ,mong các bạn cùng nhau thảo luận để thấy hết cái hay của bài toán.Lần online sau sẽ cùng thảo luận với các ban.Chúc các bạn và các em chuẩn bị thi Đại học thành công !